等价无穷小低阶吸收高阶,等价无穷小

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无穷小、极限、数学分析

在数学分析中，等价无穷小低阶吸收高阶是一个基本原则，它描述了无穷小量之间的关系。

等价无穷小

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无穷小、等价

等价无穷小是两个无穷小量，当它们趋于零时，它们的比值趋于一个非零常数。例如，(x) 和 (2x)等价无穷小，因为它们的比值为 (2)。

低阶和高阶

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无穷小、阶

无穷小的阶是反映它们相对于另一个无穷小而言大小的度量。如果 (f(x)) 比 (g(x)) 低阶，则存在一个常数 (C>0)，使得对于所有足够小的 (x)，都有

$$|f(x)| le C |g(x)|.$$

等价无穷小低阶吸收高阶

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等价无穷小、阶、吸收

等价无穷小低阶吸收高阶原则指出，如果 (f(x)) 和 (g(x))等价无穷小，并且 (h(x))比 (g(x)) 低阶的无穷小，那么 (f(x)h(x))比 (g(x)) 低阶的无穷小。

证明

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等价无穷小、阶、证明

存在一个非零常数 (c)，使得

$$f(x) sim cg(x) quad ex{当} quad x o 0.$$

由于 (h(x)) 比 (g(x)) 低阶，因此存在一个常数 (C>0)，使得对于所有足够小的 (x)，都有

$$|h(x)| le C |g(x)|.$$

将这两个不等式相乘，得到

$$|f(x)h(x)| le |c|C|g(x)|^2.$$

由于 (g(x) o 0) 当 (x o 0)，因此 (g(x)) 的平方也是比 (g(x)) 低阶的无穷小。因此，(f(x)h(x)) 也比 (g(x)) 低阶。

应用

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等价无穷小、阶、应用

等价无穷小低阶吸收高阶原则在数学分析中有着广泛的应用。例如，它可用于证明洛必达法则和泰勒定理。